遺言書で遺言執行者の定めは必要ですか？

必ずというわけではありません。
しかし、遺言執行者がいない場合、相続人全員が協力しないと手続ができないものが多いので、遺言内容を快く思わない相続人がいると、遺産整理がなかなか進まないという問題が生じます。

したがって、遺言内容の実現性を高めるために、予め相続人の中の誰か１名を遺言執行者に指定しておくか、司法書士・弁護士などの専門家に遺言執行者就任を依頼しておくことも一つの選択肢になります。
遺言書で遺言執行者を指定すると、その執行者は、遺言内容を実現する為の一切の行為をする権利･義務を有することになります。

但し、遺言執行事項には相続人以外の執行者が執行しなければならない事項（認知、相続人の廃除等）と、執行者または相続人のいずれでも執行できる事項（遺贈、寄付行為等）とがありますので、遺言の内容を整理・確定した上で、誰を遺言執行者に指定するかをよく検討する必要があります。